সংহতি (Set) আৰম্ভনি

Chapter-1

সংহতি(Set) : কিছুমান সুনিৰ্দিষ্ট বস্তুৰ গোট বা থূপ একোটাকেই সংহতি বুলি কোৱা হয়। এটা সংহতিৰ প্ৰতিটো বস্তুক মৌল বা উপাদান বুলি কোৱা হয়।

ধৰাহল A={a,b,c} এটা সংহতি আৰু এই  A সংহতিটোত তিনিটা মৌল আছে। যদি  A সংহতিত থকা মৌলৰ সংখ্যাক প্ৰতীকেৰে চিণ্হিত কৰা হয় তেন্তে n(A)=3। কেতিয়াৱা সংহতি A ত থকা স্পষ্ট মৌল কেইটাৰ সংখ্যাক বুজাবলৈ । A। প্ৰতীকো ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

সংহতিৰ প্ৰদৰ্শন : সংহতিবোৰ দুই ধৰণেৰে প্ৰকাশ কৰা হয়।

(ক) তালিকাকৰণ প্ৰদ্ধতি : এই প্ৰদ্ধতিত আটাইবোৰ মৌল {} বান্ধনিৰ ভিতৰত লিখা হয়।

যেনে :  যুগ্ম মৌলিক সংখ্যাৰ সংহতি, ইয়াক এনেধৰনে লিখা হয় :

A={2}

(খ) বিধি নিদিৰ্ষ্ট পদ্ধতি বা সংহতি গঠক পদ্ধতি : এই প্ৰদ্ধতিত মৌলবোৰৰ ধৰ্ম ব্যক্ত কৰা হয়, ইয়াক এনেধৰনে লিখা হয় :

যেনে: Error! Filename not specified.ৰ গুণিতকবোৰৰ সংহতি, যিবোৰ স্বাভাৱিক সংখ্যা।

A={x:x এটা 5 ৰ গুণিতক,x 𝞊 N}

সংহতিৰ বিভিন্ন প্ৰকাৰ:

(ক)ৰিক্ত সংহতি : এটাও মৌল নথকা সংহতিক ৰিক্ত বা খালী সংহতি বুলি কোৱা হয়। ইয়াক সাধাৰণতে 𝟇 Error! Filename not specified.ৰে বা খালী{}Error! Filename not specified.বন্ধনীৰে প্ৰকাশ কৰা হয়।

উদাহৰণস্বৰুপে    :  1 তকৈ সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যা।

(খ)অৰিক্ত সংহতি: যি সংহতি খালী বা ৰিক্ত নহয়, তাকে অৰিক্ত সংহতি বুলি কোৱা হয়।

উদাহৰণস্বৰুপে    :  A={1,2,3} এই সংহতিত কমেও এটা হলেও মৌল থাকে।

(গ)সমান সংহতি: দুটা সংহতি A আৰু B ক সমান সংহতি বুলি কোৱা হ’ব , যদিহে A ৰ B আটাইবোৰ মৌল A ৰ অন্তৰ্ভূক্ত হয়। ইয়াক A = B বুলি লিখা হয়।

উদাহৰণস্বৰুপে    :  A={1,2,3}, B ={1,2,3}হ’লে A = B

(ঘ)একক সংহতি: কেৱল এটা মৌল থকা সংহতিক একক সংহতি বুলি কোৱা হয়। 

 উদাহৰণস্বৰুপে   : 2 তকৈ সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি।

(ঙ)সসীম আৰু অসীম সংহতি : যি সংহতিত মৌলৰ গণনা প্ৰক্ৰিয়া নিশ্চিতভাৱে সমাপ্ত হয়, তাকে সসীম সংহতি বুলি কোৱা হয়। যেনে : A={x:x 𝞊 N, x<5}

            যি সংহতিত অসীম সংখ্যক মৌল থাকে, তাকে অসীম সংহতি বুলি কোৱা হয়। যেনে : আটাইবোৰ স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি।

সমতুল্য সংহতি  : দুটা সসীম সংহতি অৰু ক সমতুল্য সংহতি বুলি কোৱা হৱ, যদিহে সিহঁতৰ সমান সংখ্যক মৌল থাকে।

উদাহৰণস্বৰুপে    :  A={1,2,3}, B ={7,8,9} সমতুল্য কিন্তু সমান নহয়।

উপসংহতি  : A,B ৰ উপসংহতি (A B) যদি আৰু যদিহে A ৰ প্ৰতিটো মৌল B ত থাকে, অৰ্থাত্  A B যদি আৰু যদিহে x 𝞊 A, x 𝞊 B} ।

যদি  AB  তেন্তে B ক A ৰ অধিসংহতি বোলে। যদি  A B , কিন্তু B আৰু A ≠ 𝟇  তেন্তে ক ৰ প্ৰকৃত উপসংহতি বোলে। ইয়াক A B লিখা হয়। যেনে : {1,2,3}{1,2,3,4}

যদি  A B  আৰু যদি A = B তেন্তে অপ্ৰকৃতউপসংহতি বোলে।

ঘাত সংহতি         : এটা সংহতি A ৰ (A ≠ 𝟇) প্ৰকৃত আৰু অপ্ৰকৃত আটাইবোৰ উপসংহতিৰ পৰিয়ালটোক A ৰ ঘাতসংহতি বুলি কোৱা হয়। ইয়াক P(A) নাইবা  2A সংকেতেৰে লিখা হয়। যেনে : যদি A={1,2,3} তেন্তে P(A) ={𝟇,{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

সাৰ্বিক সংহতি      : বিভিন্ন আলোচনাৰ অন্তৰ্গত আটাইবোৰ সংহতিক এক নিৰ্দিষ্ট অধিসংহতিৰ উপসংহতি হিচাপে বিবেচনা কৰা হয়। এনে সংহতিক সাৰ্বিক সংহতি বুলি কোৱা হয়। ইয়াক সাধাৰণতে  U ৰে প্ৰকাশ কৰা হয়। উদাহৰণস্বৰুপে  :  

যদি A={1,2,3}                 B={2,3,5}                          C={6,8,9}

তেন্তে U={1,2,3,4,5,6,8,9} হৈছে সাৰ্বিক সংহতি।

ভেনচিত্ৰ :সংহতি এটাক কিছুমান চিত্ৰৰ সহায়ত প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰি নাইবা মৌলবোৰৰ মাজৰ সম্পৰ্ক বৰ্ণনা কৰিব পাৰি। এনে চিত্ৰক ভেন আয়লাৰৰ চিত্ৰ বা চমুকৈ ভেন্ চিত্ৰ বোলে। সাধাৰণতে সংহতি এটাক যিকোনো বন্ধ বক্ৰৰেখা যেনে বৃত্ত, উপবৃত্ত, ত্ৰিভূজ, আয়ত আদিৰে বুজোৱা হয়। সাৰ্বিক সংহতি এটাক প্ৰায়েই আয়ত চিত্ৰৰেই বুজোৱা হয়।

সংহতিৰ সংক্ৰিয়া (Operation of Sets):

সংহতিৰ মিলন (Union of Sets): দুটা সংহতি A আৰু B ৰ মিলন এটা সংহতি A U B যাৰ প্ৰতিটো মৌল হয় A বা B বা দুয়োটাতে থাকে। প্ৰতীকেৰে, A U B ={x:x 𝞊 Aবা x 𝞊 B}

সংহতিৰ ছেদন (Intersection of Sets): দুটা সংহতি A আৰু B ৰ ছেদন এটা সংহতি A  B যাৰ প্ৰতিটো মৌল হয় A আৰু B দুয়োটাতে থাকে। প্ৰতীকেৰে, A B = {x:x 𝞊 Aআৰু x 𝞊 B}

সংহতিৰ অন্তৰ (Difference of Sets): দুটা সংহতি A আৰু B ৰ অন্তৰ এটা সংহতি A-B যাৰ প্ৰতিটো মৌলই A ত থাকে কিন্তু  B নাথাকে। প্ৰতীকেৰে, A – B = {x:x 𝞊 Aআৰু x ɇ B}

সংহতি প্ৰক্ৰিয়াৰ বিধি

1। বৰ্গসম বিধি

(a) A u U = U                        (b) A U = A

2। সন্মিলন বিধি

(a) ( A u B) u C = A u (B u C)

(b( A B) C = A (B C)

3। বিনিময় বিধি

(a) A u B  = B u C

(b) A B =  B C

4। বিতৰণ বিধি

(a)  A u (B C) = (A u B) U  (A u C)

(b A (B u C) = (A B) U (A C)

5। তত্সম বিধি

(a) A u 𝟇 = A                       (b) A 𝟇 = 𝟇

6। পূৰক বিধি

(a) (A/)/=A ;  U/= 𝟇;                       𝟇/=U

(b) (A u A/) = U ;                  A  A/𝟇

7। ডি মৰ্গানৰ বিধি

(a) (A u B)/ = A/ B/

(b) (A B)/ = A/ U B/

8। অন্তৰ বিধি

( A u B) – A = ( A u B) A/

সংহতিৰ কাৰ্টেজীয় গুণফলৰ সংজ্ঞা-

  ধৰাহ’ল A আৰু B দুটা সংহতি। এতিয়া a𝞊A ক প্ৰথম অংগ আৰু b𝞊B ক ২য় অংগ হিচাপে লৈ গঠন কৰা (a,b) আৰ্হিৰ সকলো বিলাক ক্ৰমিক যুগলৰ সংহতিটোকে A আৰু B সংহতিৰ কাৰ্টেজীয় গুণফল বোলে। A আৰু B ৰ কাৰ্টেজীয় গুণফলক AxB ৰে প্ৰকাশ কৰা হয়। আৰু ইয়াক A পূৰণ B বুলি পঢ়া হয়। ইয়াক কেতিয়াবা A আৰু B ৰ পূৰণ সংহতি বুলি কোৱা হয়।

         সেয়েহ, AxB = {(a,b): a 𝞊 A, b 𝞊 B}

উদাহৰণস্বৰুপে –

ধৰাহ’ল, A= {a,b,c} আৰু B={1,2}। এতিয়া A আৰু B ৰ কাৰ্টেজীয় গুণফল হ’ল-

AxB ={(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}

সংহতিত সম্পৰ্ক (Relation in sets)

        ধৰাহ’ল A আৰু B দুটা অৰিক্ত সংহতি, তেন্তে A ৰ পৰা B লৈ হোৱা R সম্পৰ্কটো AxB ৰ এটা উপসংহতি।

সাধাৰণতে, A ৰ পৰা B লৈ সম্পৰ্কটো R : A  -> B হিচাপে সূচোৱা হয়।

ধৰাহ’ল, A=(1,2,3) B=(4,5)

ইয়াক ক্ৰমিক যুগ্মৰ দ্বাৰা এনেদৰে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি (1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)

ইয়াক চিত্ৰত কাঁড় চিনেৰে দেখুওৱা হৈছে।

যদি A ৰ পৰা B লৈ এটা সম্পৰ্ক R তেন্তে আমি প্ৰকাশ কৰিব পাৰো।

R = {(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}

ধ্ৰৱক সম্পৰ্ক : ধৰাহ’ল, A ওপৰত R এটা সম্পৰ্ক। যদিহে সম্পৰ্কটোৰ আদিক্ষেত্ৰৰ

সকলোবোৰ মৌল মৌল B ৰ কেৱল এটা মৌলৰ সৈতে সম্পৰ্কিত হয়, তেন্তে

সম্পৰ্কটোক ধ্ৰুৱক সম্পৰ্ক বুলি কোৱা হ’ব, য’ত, B একক সংহতি।

স্বতুল্য সম্পৰ্ক : ধৰাহ’ল, A এটা সংহতি আৰু A সংহতিৰ ওপৰত R এটা সম্পৰ্ক

R স্বতুল্য ó (a,a) 𝞊 R a𝞊A

সমমিত সম্পৰ্ক : ধৰাহ’ল, A এটা সংহতি ৰ ওপৰত R সম্পৰ্কক সমমিত সম্পৰ্ক

বুলি কোৱা হ’ব যদি,

(a,a) 𝞊 R =>(b,a) 𝞊 R a,b 𝞊 A

সংক্ৰামক সম্পৰ্ক : ধৰাহ’ল, A এটা সংহতি ৰ ওপৰত R সম্পৰ্কক সংক্ৰামক

সম্পৰ্ক বুলি কোৱা হ’ব যদি,

(a,b) 𝞊 R আৰু (b,c) 𝞊 =>(a,c) 𝞊 R a,b,c 𝞊 A

সমতুল্য সম্পৰ্ক : A সংহতিৰ ওপৰত থকা R সম্পৰ্কক সমতুল্য সম্পৰ্ক বুলি কোৱা

হ’ব যদিহে, ই স্বতুল্য, সমমিত আৰু সংক্ৰামক হয়।

Leave a Reply