সংখ্যা প্ৰণালী (অনুশলী 1.3)

নৱম শ্ৰেণী গণিত

১। তলত দিয়া সংখ্যাবিলাকক দশমিক বিস্তৃতিত প্ৰকাশ কৰা আৰু প্ৰতিটোৰে দশমিক বিস্তৃতি কি ধৰণৰ উল্লেখ কৰা –

i)36/100 ii)1/11    iii)4⅟8      iv)3/13   v)2/11   vi)329/400

Soln : i)36/100

    =0.36

এইটো এটা পৰিসমাপ্ত দশমিক বিস্তৃতি।

ii)1/11

= 0.090909..

= 0.0̅9̅

এইটো এটা অবিৰত পৌন:পুনিক দশমিক বিস্তৃতি।

iii)4⅟8

= 33/8

= 4.125

এইটো এটা পৰিসমাপ্ত দশমিক বিস্তৃতি।

iv)3/13

= 0.230769230769…..

= 0.2̅3̅0̅7̅6̅9̅

এইটো এটা অবিৰত পৌন:পুনিক দশমিক বিস্তৃতি।

v)2/11

= 0.181818…..

= 0.1̅8̅

এইটো এটা অবিৰত পৌন:পুনিক দশমিক বিস্তৃতি।

vi)329/400

= 0.8225

এইটো এটা পৰিসমাপ্ত দশমিক বিস্তৃতি।

২। তোমালোকে জানা যে 1/7= 0.1̅4̅2̅8̅̅5̅7̅ । দীঘলীয়া হৰণ নকৰাকৈ 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 ৰ দশমিক বিস্তৃতি কি হ’ব ধাৰণা কৰিব পাৰিবানে? যদি পাৰিবা, কেনেকৈ?

Soln : পাৰি, দীঘলীয়া হৰণ নকৰাকৈ

হয়, ওপৰৰ ভগ্নাংশবোৰ দশমিকত প্ৰমাণ কৰিলে পৌন:পুনিক দশমিকত আহে। যেনে- 1/17 = 0.0̅5̅8̅8̅2̅3̅5̅̅2̅9̅4̅1̅1̅7̅6̅̅4̅7̅

এতিয়া, 2/7 = 0.2̅8̅5̅7̅1̅4̅ পেৱা যাব। বাকী ভগ্নাংশবোৰ হৰণ কৰিলে পৌন:পুনিক দশমিক পোৱা যাব।

৩। তলত দিয়াবিলাক p/q আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰা, য’ত p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা আৰু q≠0

i) 0.6̅    ii) 0.47̅  iii) 0.0̅0̅1̅ iv) 0.5̅4̅  v) 0.59̅  vi) 0.34̅5̅     vii) 32.123̅5̅    viii) 0.37̅

Soln : i) 0.6̅

ধৰাহ’ল, x = 0.6̅

    => x = 0.666… —–(i)

    => 10x = 10 X 0.666… [দুয়োফালে 10 পূৰণ কৰি]

=> 10x = 6.666…—(ii)

এতিয়া, (ii)-(i)=>

    10x = 6.666…. 

    – x = 0.666…

————————–

=>  9x = 6

=>  x = 6/9

=> x = 2/3

ii) 0.47̅

ধৰাহ’ল, x = 0.47̅

    => x = 0.4777… —–(i)

    => 10x = 10 X 0.4777… [দুয়োফালে 10 পূৰণ কৰি]

    => 10x = 4.777… —–(ii)

 এতিয়া, (ii)-(i)=>

    10x = 4.777…

    -x = 0.4777…

—————————–

=> 9x = 4.3

=> x = 4.3/9

=> x = 43/90

iii) 0.0̅0̅1̅

ধৰাহ’ল, x = 0.0̅0̅1̅

    => x = 0.001001… —–(i)

    => 1000x = 1000 X 0.001001… [দুয়োফালে 1000 পূৰণ কৰি]

    => 1000x = 1.001001… —–(ii)

এতিয়া, (ii)-(i)=>

    1000x = 1.001001…

    – x = 0.001001….

————————–

=> 999x = 1

=> x = 1/999

iv) 0.5̅4̅

ধৰাহ’ল, x = 0.5̅4̅

                =>  X = 0.5454….. —–(i)

=> 100x = 100 X 0.5454….. [দুয়োফালে 100 পূৰণ কৰি]

    => 100x = 54.5454… —–(ii)

এতিয়া, (ii)-(i)=>

    100x = 54.5454…

    – x = 0.5454…..

—————————-

=> 99x = 54

=> x = 54/99

            = 6/11

v) 0.59̅

ধৰাহ’ল, x = 0.59̅

=>  X = 0.5999….. —–(i)

=> 10x = 10 X 0.5999….. [দুয়োফালে 10 পূৰণ কৰি]

    => 10x = 5.999… —–(ii)

এতিয়া, (ii)-(i)=>

    10x = 5.999…

    – x = 0.5999…..

—————————

=> 9x = 5.4

=> x = 5.4/9

            = 54/90

            = 6/10

            =3/5

vi) 0.34̅5̅

ধৰাহ’ল, x = 0.34̅5̅

                =>  X = 0.34545….. —–(i)

=> 100x = 100 X 0.34545….. [দুয়োফালে 100 পূৰণ কৰি]

    => 100x = 34.545… —–(ii)

এতিয়া, (ii)-(i)=>

    100x = 34.545…

    – x = 0.34545…..

—————————-

=> 99x = 34.2

=> x = 34.2/99

            = 342/990

            = 19/55

vii) 32.123̅5̅

ধৰাহ’ল, x = 32.123̅5̅

                =>  X = 32.12353535….. —–(i)

=> 100x = 100 X 32.12353535….. [দুয়োফালে 100 পূৰণ কৰি]

    => 100x = 3212.353535… —–(ii)

এতিয়া, (ii)-(i)=>

    100x = 3212.353535…

    – x = 32.12353535…..

—————————————–

=> 99x = 3180.23

=> x = 3180.23/99

            = 318023/9900

            = 19/55

viii) 0.37̅

ধৰাহ’ল, x = 0.37̅

=>  X = 0.3777….. —–(i)

=> 10x = 10 X 0.3777….. [দুয়োফালে 10 পূৰণ কৰি]

    => 10x = 3.777… —–(ii)

এতিয়া, (ii)-(i)=>

    10x = 3.777…

    – x = 0.3777…..

————————-

=> 9x = 3.4

=> x = 3.4/9

            = 34/90

            = 17/45

৪। 0.99999…. ক p/q আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰা। তোমাৰ উত্তৰ দেখি আচৰিত হৈছা নেকি? তোমাৰ শিক্ষক আৰু সহপাঠীসকলৰ লগত এই উত্তৰ কিয় অৰ্থবহ আলোচনা কৰা।

উত্তৰ : 0.99999….

ধৰাহ’ল, x = 0.99999….

=>  X = 0.99999….—–(i)

=> 10x = 10 X 0.99999….. [দুয়োফালে 10 পূৰণ কৰি]

    => 10x = 9.9999… —–(ii)

এতিয়া, (ii)-(i)=>

    10x = 9.9999…

    – x = 0.99999….

———————-

=> 9x = 9

=> x = 9/9

            = 1

যিহেতু, 0.99999… ৰ প্ৰকৃতি পৌন:পুনিক আৰু 0.99999…. ৰ মাজত কোনো ব্যৱধান নাই… গতিকে, 1 আৰু 0.99999…. সমান।

৫। 1/17 ৰ দশমিক বিস্তৃতিৰ পুনৰাৱৰ্তিত গোটটোত আটাইতকৈ বেছি কিমানটা অংক থাকিব? হৰণ পদ্ধতি অৱলম্বন কৰি উত্তৰৰ সত্যতা পৰীক্ষা কৰা।

উত্তৰ: দশমিক বিস্তৃতিত পুনৰাবৃত্তি অংকৰ সংখ্যা ভাজকতকৈ সৰু । গতিকে, 1/17 ৰ দশমিক বিস্তৃতিত পুনৰাবৃত্তি অংকৰ সংখ্যা 16, ইয়াত ভাজক হৈছে 17।

গতিকে, 1/17 = 0.0̅5̅8̅8̅2̅3̅5̅̅2̅9̅4̅1̅1̅7̅6̅̅4̅7̅

৬। যদি p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা যাৰ 1 ৰ বাহিৰে অন্য সাধাৰণ উত্পাদক নাই তেনেহ’লে p/q (q≠0) আৰ্হিত থকা বিভিন্ন পৰিমেয় সংখ্যা লোৱা যিবিলাকৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত আৰু পৰ্যবেক্ষণ কৰা। q য়ে কি ধৰ্ম সিদ্ধ কৰিব অনুমান কৰিব পাৰিবানে?

উত্তৰ : p/q (q≠0) আৰ্হিত থকা কিছুমান পৰিমেয় সংখ্যা লোৱা হ’ল।য’ত p আৰু q অখণ্ড সংখ্যাৰ 1 ৰ বাহিৰে অন্য সাধাৰণ উত্পাদক নাই আৰু ইহঁতৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত। এনে কিছুমান সংখ্যা হৈছে 3/4,7/8,15/16,19/20,23/25 ইত্যাদি।

এতিয়া, 3/4= 3/22= 3×25/4×25= 75/22x52 =75/100 = 0.75

7/8 = 7/23 =7×125/8×125 = 875/23x53= 875/1000 = 0.875

15/16= 15/24 =15×625/16×625 = 9375/10000 = 0.9375

19/20 = 19×5/20×5 = 95/100 = 95/4×25 =95/22x52 =95/100=0.95

23/25 =23/52 =23×4/25×4 =92/100 =92/4×25 =92/22x52 =92/100=0.92

q ৰ মৌলিক উত্পাদকীকৰণত কেৱল 2 ৰ ঘাত নাইবা 5 ৰ ঘাত নাইবা দুয়োটাই আছে।

7। তিনিটা সংখ্যা লিখা যাৰ দশমিক বিস্তৃতি অবিৰত আৰু অপুনৰাৱৰ্তিত (অপৰিসমাপ্ত আৰু অপৌন:পুনিক)।

উত্তৰ : অবিৰত আৰু অপুনৰাৱৰ্তিত দশমিক বিস্তৃতিৰ তিনিটা সংখ্যা হৈছে :

0.01001000100001….,

0.202002000200002….,

0.003000300003….

৮। 5/7 আৰু 9/11 ৰ মাজত থকা তিনিটা ভিন্ন অপৰিমেয় সংখ্যা উলিওৱা।

উত্তৰ : দীৰ্ঘ হৰণ পদ্ধতিৰে 5/7 আৰু 9/11 ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা হ’ল,

গতিকে, 5/7 আৰু 9/11 ৰ মাজত থকা তিনিটা ভিন্ন অপৰিমেয় সংখ্যা হ’ল :

0.75075007500075000075…….,

0.767076700767000767………,

0.808008000800008…….

৯। তলৰ সংখ্যা কেইটাক পৰিমেয় আৰু অপৰিমেয় হিচাপে শ্ৰেণী বিভক্ত কৰা :

i)√23  ii)√225   iii)0.3796 iv)7.478478… v)1.101001000100001…

উত্তৰ : i) যিহেতু, 23 পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা নহয়,

সেয়ে, √23 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।

ii)225 ৰ বৰ্গমূল

=> √225 = √1̅5̅x̅1̅5̅

         =15, এটা পৰিমেয় সংখ্যা।

iii)0.3796 ৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত।

গতিকে, 0.3796 এটা পৰিমেয় সংখ্যা।

Write a comment